Question

如圖，過點(diǎn)P（0，a³）（0＜a＜2）的兩直線與拋物線y=-ax²相切于A，B兩點(diǎn)，且AD和BC均垂直于直線y=-8，垂足分別為D，C，得矩形ABCD．
（1）求A，B兩切點(diǎn)的坐標(biāo)（用a表示）；
（2）設(shè)矩形ABCD的面積為S（a），求S（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則y₀=-ax₀²，得到切線的方程，把切點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得x₀=±a，從而得到y(tǒng)₀=-a³，進(jìn)而得到A、B的坐標(biāo)．
（2）可知AB=2a，BC=8-a³，得S（a）=16a-2a⁴（0＜a＜2），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求得函數(shù)的最值．

解答：解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則y₀=-ax₀²，∵y′=-2ax，∴切線方程為y-y₀=-2ax₀（x-x₀），
即y+ax₀²=-2ax₀（x-x₀）．∵切線經(jīng)過點(diǎn)（0，a³），∴a³+ax₀²=-2ax₀（0-x₀），
即a³=ax₀²，于是x₀=±a，得y₀=-a³，∴A（a，-a³），B（-a，-a³ ）．
（2）可知AB=2a，BC=8-a³，∴S（a）=16a-2a⁴（0＜a＜2），∴S′（a）=16-8a³ ．
∴當(dāng)0＜a＜

3	2

時，S′（a）＞0；

3	2

＜a＜2時，S′（a）＜0，∴當(dāng)a=

3	2

時，S（a）有最大值12

3	2

．

點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求得函數(shù)的最值，求出A、B的坐標(biāo)，是
解題的關(guān)鍵．