Question

設拋物線C：y²=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|=3|BF|，則l的方程為（　　）

• A．y=±（x-1）
• B．y=±

  3

  3

  （x-1）
• C．y=±

  3

  （x-1）
• D．y=±

  2

  2

  （x-1）

Answer 1

分析：根據題意，可得拋物線焦點為F（1，0），由此設直線l方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯解消去x，得

k

4

y2-y-k=0．再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數的關系和|AF|=3|BF|，建立關于y₁、y₂和k的方程組，解之可得k值，從而得到直線l的方程．

解答：解：∵拋物線C方程為y²=4x，可得它的焦點為F（1，0），
∴設直線l方程為y=k（x-1）
由

y=k(x-1)  y2=4x

消去x，得

k

4

y2-y-k=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4…（*）
∵|AF|=3|BF|，
∴y₁+3y₂=0，可得y₁=-3y₂，代入（*）得-2y₂=

4

k

且-3y₂²=-4，
消去y₂得k²=3，解之得k=±

3

∴直線l方程為y=

3

（x-1）或y=-

3

（x-1）
故答案為：C

點評：本題給出拋物線的焦點弦AB被焦點F分成1：3的兩部分，求直線AB的方程，著重考查了拋物線的標準方程、簡單幾何性質和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．