Question

在東西方向直線延伸的湖岸上有一港口O，一艘機艇以40km/h的速度從O港出發，先沿東偏北的某個方向直線前進到達A處，然后改向正北方向航行，總共航行30分鐘因機器出現故障而停在湖里的P處，由于營救人員不知該機艇的最初航向及何時改變的航向，故無法確定機艇停泊的準確位置，試劃定一個最佳的弓形營救區域（用圖形表示），并說明你的理由．

Answer 1

分析：以O為原點，湖岸線為x軸建立直角坐標系，設OA的傾斜角為θ，點P的坐標為（x，y），|OA|=m，|AP|=n，則有

x=mcosθ y=n+msinθ m+n=20

(0＜θ＜

π

2

)，由此能夠導出營救區域為直線x+y=20與圓x²+y²=400圍城的弓形區域．

解答：解：以O為原點，湖岸線為x軸建立直角坐標系，設OA的傾斜角為θ，點P的坐標為（x，y），
|OA|=m，|AP|=n，則有　（3分）

x=mcosθ y=n+msinθ m+n=20

(0＜θ＜

π

2

)（7分）
由此得

x2+y2=m2+n2+2mnsinθ x+y=m(sinθ+cosθ)+n

（9分）
即

x2+y2＜m2+n2+2mn=(m+n)2=400 x+y= 2 msin(θ+ π 4 )+n＞ 2 m• 2 2 +n=20

（12分）
故營救區域為直線x+y=20與圓x²+y²=400圍城的弓形區域．（14分）

點評：本題考查圓的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地選用公式．