Question

棱長為a的正方體內有一個球，與這個正方體的12條棱都相切，則這個球的體積應為（　　）

• A、4πa³
• B、

  π

  4

  a3
• C、

  2

  3

  πa3
• D、

  2

  4

  πa3

Answer 1

分析：根據長為a的正方體內有一個球，與這個正方體的12條棱都相切，則球的直徑等于正方體兩條不相鄰且平行的棱之間的距離結合球及正方體的幾何特征得到球半徑，代入球的體積公式，即可得到答案．

解答：解：若球與這個正方體的12條棱都相切，
則球心在到12條棱的距離均相等
則球的直徑等于正方體兩條不相鄰且平行的棱之間的距離
即當正方體的棱長為a時，則球的直徑等于正方體任一面對角線的長度
∴2R=

2

a
則R=

2

2

a
則V=

4

3

πR3=

2

3

πa3
故選C

點評：本題考查的知識點是球的表面積，其中根據正方體及球的幾何特征及已知條件求出球的半徑，是解答本題的關鍵．