Question

已知冪函數(shù)為偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)，若g（x）＞0對任意x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)q的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由冪函數(shù)為偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3為偶數(shù)
解不等式可得，-1＜m＜3，m∈Z
∴m=0，1，2
當(dāng)m=0時(shí)，-m²+2m+3=3（舍）
當(dāng)m=1時(shí)，-m²+2m+3=4
當(dāng)m=2時(shí)，-m²+2m+3=3（舍）
故m=1，f（x）=x⁴
（2）由（1）可得，=2x²-qx+q-1＞0
q（1-x）＞1-2x²
-1≤x≤1
x≠1時(shí)，q在[-1，1]上恒成立
令h（x）==-[2（1-x）+]+4≤4-2
q
分析：1）由冪函數(shù)為偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，可得-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3為偶數(shù)，解不等式可得結(jié)合，m∈Z可求m的取值
（2）由（1）可得，=2x²-qx+q-1＞0，q（1-x）＞1-2x²，結(jié)合-1≤x≤1可得x≠1時(shí)q在[-1，1]上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為求h（x）=在[-1，1]上的最大值即可
點(diǎn)評：本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)可應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由函數(shù)為偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，可得-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3為偶數(shù)，而函數(shù)的恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，注意構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用．