Question

【題目】在平面直角坐標系中，①已知點，直線：，動點滿足到點的距離與到直線的距離之比為；②已知圓的方程為，直線為圓的切線，記點到直線的距離分別為，動點滿足；③點，分別在軸，軸上運動，且，動點滿足．

（1）在①，②，③這三個條件中任選一個，求動點的軌跡方程；

（2）記（1）中的軌跡為，經過點的直線交于，兩點，若線段的垂直平分線與軸相交于點，求點縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）不論選哪種條件，動點的軌跡方程（2）

【解析】

（1）選①,可以用直接法求軌跡方程，選②，可以用待定系數法求軌跡方程，選③，可以用代入法求軌跡方程；（2）設，當斜率不存在時，，當斜率不存在時，求出，得到或，綜合即得解.

（1）若選①，

設，根據題意，，

整理得，

所以所求的軌跡方程為．

若選②，

設，直線與圓相切于點，

則，

由橢圓定義知，點的軌跡是以為焦點的橢圓，

所以，

故，

所以所求的軌跡方程為．

若選③，

設，，，

則，

因為，

所以，

整理得，

代入得，

所以所求的軌跡方程為

（2）設，當斜率不存在時，，

當斜率存在時，

設直線的方程為，，，

由，消去并整理，

得，

恒成立，，

設線段的中點為，

則，

所以線段的垂直平分線方程為：

，

令，得，

當時，，

當且僅當時，取等號，所以；

當時，，

當且僅當時，取等號，所以；

綜上，點縱坐標的取值范圍是