Question

某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項目，根據市場分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發生的概率分別為，，；如果投資乙項目，一年后可能獲利20%，也可能損失20%，這兩種情況發生的概率分別為α和β（α+β=1）．
（Ⅰ）如果把10萬元投資甲項目，用ξ表示投資收益（收益=回收資金-投資資金），求ξ的期望Eξ；
（Ⅱ）若把10萬元投資投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益，求α的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，ξ的可能取值為1，0，-1
當ξ=1時，P（ξ=1）=，
當ξ=0時，P（ξ=0）=，
當ξ=-1時，P（ξ=1）=
故Eξ==．
故答案為．
（Ⅱ）設η表示10萬元投資乙項目的收益，則η的分布為
當η=2時，P（η=2）=α
當η=-2時，P（η=-2）=β
則Eη=2α-2β=4α-2．
依題意要求，又α＜1．
即：≤α＜1，
故答案為≤α＜1．
分析：對于（1）如果把10萬元投資甲項目，根據市場分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發生的概率分別為，，；則可得到ξ的可能取值為1，0，-1．然后分別求出概率，由期望公式即可得到答案．
對于（Ⅱ）若把10萬元投資投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益，故可以先求出投資乙項目ξ的期望值，然后使其大于等于甲項目的期望，解出α的取值范圍即可得到答案．
點評：此題主要考查離散型隨機變量的期望的問題，以及用期望值估計實際問題，對學生靈活應用能力要求較高，屬于中檔題目．