Question

【題目】已知函數f（x）=|2x﹣4|．
（1）解不等式f（x）+f（1﹣x）≤10；
（2）若a+b=4，證明：f（a2）+f（b2）≥8．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）+f（1﹣x）≤10，

即|2x﹣4|+|2+2x|≤10．即|x﹣2|+|x+1|≤5，

當x≤﹣1時，不等式轉化為2﹣x﹣x﹣1≤5，解得﹣2≤x≤﹣1，

當﹣1＜x＜2時，不等式轉化為2﹣x+x+1≤5，不等式恒成立，

當x≥2時，不等式轉化為x﹣2+x+1≤5，解得2≤x≤3．

∴不等式的解集為：{x|﹣2≤x≤3}．

（2）解：證明：若a+b=4，則b2=（4﹣a）2=a2﹣8a+16，

∴f（b2）=|2a2﹣16a+28|=2|a2﹣8a+14|，

∴f（a2）+f（b2）=2|a2﹣2|+2|a2﹣8a+14|

≥2|2a2﹣8a+12|=4|a2﹣4a+6|=4|（a﹣2）2+2|≥4×2=8．

【解析】（1）討論x的范圍，去掉絕對值符號，再解不等式；（2）把b=4﹣a代入f（b2），得出f（a2）+f（b2）關于a的解析式，利用絕對值不等式的性質化簡即可得出結論．
【考點精析】通過靈活運用絕對值不等式的解法和不等式的證明，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等即可以解答此題．