Question

設函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+1，（a∈R），當x∈[1，3]時，f（x）的最小值為5，則a的值為

2

．

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，由導函數小于0根據a的不同取值范圍得到原函數在區間[1，3]上的單調性，利用單調性求出當x∈[1，3]時，f（x）的最小值為5的a的值，滿足a的取值范圍的保留，不滿足的舍掉，從而求出a的值．

解答：解：由f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+1，得
f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
令f'（x）＜0，得（x-a）（x-1）＜0
當a≤1時，a＜x≤1，f（x）在[1，3]為單調增，所以在x=1處有最小值，
即f（1）=2-3（a+1）+6a=4，解得a=

5

3

（舍去）；
當1＜a＜3時，1＜x＜a，f（x）在[1，a]單調減，在[a，3]單調增，所以在x=a處有最小值，
即f（a）=2a³-3（a+1）a²+6a²=4，
即a³-3a²+4=0，即（a³+1）-3（a²-1）=0，
即（a+1）（a-2）²=0，解得a=2或a=-1（舍去）．
當a≥3時，f（x）在[1，3]上為單調減，所以在x=3處有最小值，
f（3）=54-27（a+1）+18a=4，解得a=

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9

（舍去）．
所以當x∈[1，3]，f（x）的最小值為5時a的值為2．
故答案為2．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，考查了分類討論的數學思想方法，通過正確的分類，利用導函數的符號判處函數在區間[1，3]內的單調情況是解決該題的關鍵，是難題．