Question

若雙曲線

x2

a2

-

y2

3

=1的一條漸近線被圓（x-2）²+y²=4所截得的弦長為2，則該雙曲線的實軸長為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的漸近線方程，求得圓心到漸近線的距離，再由直線和圓相交的弦長公式，解方程即可得到a=1，進而得到實軸長．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

3

=1的漸近線方程為y=±

3

a

x，
即

3

x±ay=0，
圓（x-2）²+y²=4的圓心為C（2，0），半徑為r=2，
由圓的弦長公式得弦心距|CD|=

22-12

=

3

，
另一方面，圓心C到雙曲線的漸近線

3x

-ay=0的距離為
d=

| 3 ×2-a×0|

3+a2

=

2 3

3+a2

，
所以d=

2 3

3+a2

=

3

，
解得a²=1，即a=1，
該雙曲線的實軸長為2a=2．
故答案為：2．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查直線和圓相交的弦長公式，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題．