Question

15．如圖，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，DE∥PA．
（Ⅰ）求證：BC⊥CE；
（Ⅱ）若直線m?平面PAB，試判斷直線m與平面CDE的位置關系，并說明理由；
（Ⅲ）若AB=PA=2DE=2，AD=3，求三棱錐E-PCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出DE⊥BC．，BC⊥CD，由此能證明BC⊥CE．
（Ⅱ）推導出DE∥平面PAB，CD∥平面PAB，從而平面PAB∥平面CDE，從而得到m∥平面CDE．
（Ⅲ）三棱錐E-PCD的體積等于三棱錐P-CDE的體積，由此能求出三棱錐E-PCD的體積．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）因為PA⊥底面ABCD，PA∥DE
所以DE⊥底面ABCD．
所以DE⊥BC．
又因為底面ABCD為矩形，
所以BC⊥CD．
又因為CD∩DE=D，
所以BC⊥平面CDE．所以BC⊥CE．                …（4分）
解：（Ⅱ）若直線m?平面PAB，則直線m∥平面CDE．證明如下，
因為PA∥DE，且PA?平面PAB，DE?平面PAB，
所以DE∥平面PAB．
在矩形ABCD中，CD∥BA，且BA?平面PAB，CD?平面PAB，
所以CD∥平面PAB．
又因為CD∩DE=D，所以平面PAB∥平面CDE．
又因為直線m?平面PAB，所以直線m∥平面CDE．      …（9分）
（Ⅲ）由題意知，三棱錐E-PCD的體積等于三棱錐P-CDE的體積．
由（Ⅰ）可知，BC⊥平面CDE．
又因為AD∥BC，
所以AD⊥平面CDE．
易證PA∥平面CDE，所以點P到平面CDE的距離等于AD的長．
因為AB=PA=2DE=2，AD=3，所以${S_{△CDE}}=\frac{1}{2}CD•DE=\frac{1}{2}×2×1=1$．
所以三棱錐E-PCD的體積$V=\frac{1}{3}{S_{△CDE}}•AD=\frac{1}{3}×1×3=1$．   …（14分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面位置關系的判斷，考查二棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．