Question

已知二次函數f（x）=x²-（m-1）x+2m在[0，1]上有且只有一個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：分類討論：（1）當方程x²-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有兩個相等的實根時，矛盾；（2）當方程x²-（m-1）x+2m=0有兩個不相等的實根時，分3種情況來考慮即可．

解答：解：（1）當方程x²-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有兩個相等的實根時，
△=（m-1）²-8m=0且0＜

m-1

2

＜1，此時無解．
（2）當方程x²-（m-1）x+2m=0有兩個不相等的實根時，
①有且只有一根（[0，1）上時，有f（0）f（1）＜0，即2m（m+2）＜0，解得-2＜m＜0，
②當f（0）=0時，m=0，f（x）=x²+x=0，解得x₁=0，x₂=-1，符合題意．
③f（1）=0時，m=-2，方程可化為x²+3x-4=0，解得x₁=1，x₂=-4，符合題意，
綜上可得，實數m的取值范圍為：[-2，0]

點評：本題為函數零點的問題，分類討論時解決問題的關鍵，屬基礎題．