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已知點C為y²=2px（p＞0）的準線與x軸的交點，點F為焦點，點A、B為拋物線上兩個點，若

0，

則向量

與

的夾角為

2π

．

分析：設出點A，B的坐標，利用點A、B是拋物線上的兩個點，

0，

可求

，

的坐標，再利用向量的夾角公式，即可得出結論．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），拋物線y²=2px（p＞0）的準線與x軸的交點C（-

，0），焦點F（

，0）
∵

∴（x₁-

，y₁）+（x₂-

，y₂）+（-2p，0）=（0，0）
∴x₁+x₂=3p，y₁+y₂=0
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）
∴y₁²=y₂²=3p²，x₁=x₂=

p
∴

=（p，

p），

=（p，-

p）
設向量

，

的夾角為α，則cosα=

•

|•|

p2-3p 2

4p2

∵α∈[0，π]
∴α=

2π

故答案為：

2π

．

點評：本題考查拋物線的簡單性質，向量知識的運用，考查向量的夾角公式，解題的關鍵是確定向量的坐標．

練習冊系列答案

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已知點M是拋物線y²=2px（p＞0）位于第一象限部分上的一點，且點M與焦點F的距離|MF|=2p，則點M的坐標為（　　）

A、（

，

p）

B、（

，-

p）

C、（

，±

p）

D、（

p，

）

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（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知過拋物線C₁：y²=2px（p＞0）焦點F的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點
（1）證明：y₁y₂=-p²且（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）；
（2）點Q為線段AB的中點，求點Q的軌跡方程；
（3）若x₁=1，x₂=4，以坐標軸為對稱軸的橢圓或雙曲線C₂過A、B兩點，求曲線C₁和C₂的方程；
（4）在（3）的條件下，若曲線C₂的兩焦點分別為F₁、F₂，線段AB上有兩點C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）（x₃＜x₄），滿足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在線段F₁ F₂上是否存在一點P，使PD=

，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M（1，-3）、N（5，1），若點C滿足

+(1-t)

(t∈R)，點C的軌跡與拋物線：y²=2px（p＞0）交于D、E兩點．
（1）

⊥OE

，求拋物線的方程；
（2）過動點（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p．
（i）求a的取值范圍；
（ii）若線段AB的垂直平分線交x軸于點Q，求△QAB面積的最大值．

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科目：高中數學 來源：上海市進才中學2007屆高三理科月考六數學試題 題型：044

已知拋物線C：y²＝2px(p＞0)，直線l交C于E、F兩點．

(1)求證：命題“若直線l過點A(2p，0)，則∠EOF＝90°(O為坐標原點)”是真命題；