Question

已知M（1+cos2x，1），N(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常數），且y=

OM

•

ON

（其中O為坐標原點）．
（1）求y關于x的函數關系式y=f（x）；
（2）求函數y=f（x）的單調區間；
（3）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量數量積的定義可得f(x)=cos2x+

3

sin2x+1+a
（2）利用和差角公式可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a+1，分別令2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

，2kπ+

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

3π

2

分別解得函數y=f（x）的單調增區間和減區間
（3）由0≤x≤

π

2

求得

π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

，結合三角函數的性質求最大值，進而求出a的值

解答：解：（1）y=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a，
所以f(x)=cos2x+

3

sin2x+1+a．
（2）由（1）可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1+a，
由2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

6

(k∈Z)；
由2kπ+

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

6

＜x＜kπ+

2π

3

(k∈Z)，
所以f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
單調遞減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．
（3）f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1+a，
因為0≤x≤

π

2

，
所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）取最大值3+a，
所以3+a=4，即a=1．

點評：本題以向量的數量積為載體考查三角函數y=Asin（wx+∅）的性質，解決的步驟是結合正弦函數的相關性質，讓wx+∅作為整體滿足正弦函數的中x所滿足的條件，分別解出相關的量．