Question

【必做題】(本題滿分10分)

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形為底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，，為的中點．

   （Ⅰ）求證：；

   （Ⅱ）求平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值；

   （Ⅲ）在上是否存在一點，使平面？如果存在，求出的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【必做題】(本題滿分10分)

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形為底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，，為的中點．

   （Ⅰ）求證：；

   （Ⅱ）求平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值；

   （Ⅲ）在上是否存在一點，使平面？如果存在，求出的長；若不存在，說明理由．

提示：如圖，以為原點，，，分別為軸建立空間直角坐標系，
，，，．    ……2分
（Ⅰ），，
所以，即．        ……2分
（Ⅱ）平面的法向量為．
設平面的法向量為，．
由得所以
取，得．
所以，所以平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值為．             ……6分
（Ⅲ）假設在存在一點， 設，
因為，故，
所以，所以．
因為平面，所以與平面的法向量共線，
所以 ，解得，   
所以，即，所以．     ……10分

點評：該題考查空間向量的坐標表示、空間向量的數量積、空間向量的共線與垂直、直線的方向向量與平面的法向量；是中檔題。