Question

已知函數h（x）=x²，φ（x）=2elnx（其中e是自然對數的底數）．
（1）判斷函數F（x）=h（x）-φ（x）的零點個數并證明你的結論；
（2）證明：當x＞0時，φ（x）圖象不可能在直線y=2

e

x-e的上方．

Answer 1

分析：第（1）問判斷函數的零點個數可通過函數的圖象來解決，借助導數來判斷函數的單調性及極值得到函數的圖象，從而解決問題；第（2）問構造函數，再借助導數判斷函數的單調性及極值得到函數的圖象恒在x軸上方，問題得以解決．

解答：解：（1）函數F（x）只有一個零點．
證明：∵F（x）=h（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0），
∴F'（x）=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

．
當x=

e

時，F'（x）=0．
∵當0＜x＜

e

時，F'（x）＜0，此時函數F（x）遞減；
當x＞

e

時，F'（x）＞0，此時函數F（x）遞增；
∴當x=

e

時，F（x）取極小值，其極小值為0．
所以函數F（x）只有一個零點．
（2）證明：令G（x）=φ（x）-2

e

x+e=2elnx-2

e

x+e，
則G'（x）=

2e

x

-2

e

=

2 e ( e -x)

x

，當x=

e

時，G'（x）=0．
∵當0＜x＜

e

時，G'（x）＞0，此時函數G（x）遞增；
當x＞

e

時，G'（x）＜0，此時函數G（x）遞減；
∴當x=

e

時，G（x）取極大值，其極大值為0．
從而G（x）=2elnx-2

e

x+e≤0，
即?（x）≤2

e

x-e（x＞0）恒成立，
所以當x＞0時，φ（x）圖象不可能在直線y=2

e

x-e的上方．

點評：構造函數是解決問題的關鍵！能借助導數來判斷函數的單調性及極值從而得到函數的圖象．在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、導數的思想以及問題轉化的思想．