Question

某單位有員工1000名，平均每人每年創造利潤10萬元．為了增加企業競爭力，決定優化產業結構，調整出x（x∈N^*）名員工從事第三產業，調整后他們平均每人每年創造利潤為10(a-

3x

500

)萬元（a＞0），剩下的員工平均每人每年創造的利潤可以提高0.2x%．
（1）若要保證剩余員工創造的年總利潤不低于原來1000名員工創造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業？
（2）在（1）的條件下，若調整出的員工創造的年總利潤始終不高于剩余員工創造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？

Answer 1

分析：（1）根據題意可列出10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，進而解不等式求得x的范圍，確定問題的答案．
（2）根據題意分別表示出從事第三產業的員工創造的年總利潤和從事原來產業的員工的年總利潤，進而根據題意建立不等式，根據均值不等式求得求a的范圍．

解答：解：（1）由題意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，
即x²-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．
即最多調整500名員工從事第三產業．
（2）從事第三產業的員工創造的年總利潤為10(a-

3x

500

)x萬元，
從事原來產業的員工的年總利潤為10(1000-x)(1+

1

500

x)萬元，
則10(a-

3x

500

)x≤10(1000-x)（1+0.2x%）
所以ax-

3x2

500

≤1000+2x-x-

1

500

x2，
所以ax≤

2x2

500

+1000+x，
即a≤

2x

500

+

1000

x

+1恒成立，
因為

2

500

x+

1000

x

≥2

2x 500 1000 x

=4，
當且僅當

2x

500

=

1000

x

，即x=500時等號成立．
所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，
即a的取值范圍為（0，5]．

點評：本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應用．考查了學生綜合運用所學知識，解決實際問題的能力．