Question

已知函數f（x）是定義在實數集R上的不恒為零的偶函數，且對任意實數x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），則f(

9

2

)的值是（　　）

• A．

  5

  2

• B．1
• C．

  1

  2

• D．0

Answer 1

分析：由xf（x+1）=（1+x）f（x）結構來看，選用遞推的方法，用賦值法依次求出f（

1

2

）=0，f（

3

2

），f（

5

2

），f（

7

2

），f（

9

2

），從而得到答案．

解答：解：∵對任意實數x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），
∴令x=-

1

2

，則有-

1

2

f（-

1

2

+1）=（1-

1

2

）f（-

1

2

），即f（-

1

2

）=-f（

1

2

）①，
又∵函數f（x）是定義在實數集R上的不恒為零的偶函數，
∴f（-

1

2

）=f（

1

2

）②，
∴由①②得f（

1

2

）=0，
再令x=

1

2

，則有f（

3

2

）=0，
令x=

3

2

，則有f（

5

2

）=0，
令x=

5

2

，則有f（

7

2

）=0，
令x=

7

2

，則有f（

9

2

）=0．
故選：D．

點評：本題主要考查抽象函數用遞推的方法求函數值，這類問題關鍵是將條件和結論有機地結合起來，作適當變形，把握遞推的規律．解題中要注意函數奇偶性的應用．屬于基礎題．