Question

如圖，從點P₁（0，0）做x軸的垂線交曲線y=e^x于點Q₁（0，1），曲線在Q₁點處的切線與x軸交于點P₂，再從P₂做x軸的垂線交曲線于點Q₂，依次重復上述過程得到一系列點：P₁，Q₁；P₂，Q₂…；P_n，Q_n，記P_k點的坐標為（x_k，0）（k=1，2，…，n）．
（Ⅰ）試求x_k與x_k-1的關系（2≤k≤n）；
（Ⅱ）求|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+|P₃Q₃|+…+|P_nQ_n|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出p_k-1的坐標，求出Q_k-1，利用導數的幾何意義函數在切點處的導數值是曲線的曲線的斜率，利用點斜式求出切線方程，令y=0得到x_k與x_k+1的關系．
（Ⅱ）求出|P_kQ_k|的表達式，利用等比數列的前n項和公式求出和．

解答：解：（Ⅰ）設P_k-1（x_k-1，0），
由y=e^x得Qk-1(xk-1，exk-1)
點Q_k-1處切線方程為y-exk-1=exk-1(x-xk-1)
由y=0得x_k=x_k-1-1（2≤k≤n）．
（Ⅱ）x₁=0，x_k-x_k-1=-1，得x_k=-（k-1），
|PkQk|=exk=e-(k-1)
S_n=|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+|P₃Q₃|+…+|P_nQ_n|
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=

1-e-n

1-e-1

=

e-e1-n

e-1

點評：本題考查導數的幾何意義：函數在切點處的導數值是曲線的曲線的斜率、考查等比數列的前n項和公式求出和．