Question

設a＜1，解關于x的不等式

x+2	ax2+a2x-x-a

＞0．

Answer 1

分析：不等式中各因式的根分別為-a、

1

a

、-2，分a＜-2、a=-2、-2＜a＜-

1

2

、a=-

1

2

、0＞a＞-

1

2

、a=0、0＜a＜1七種情況，分別求出不等式的解集，綜合可得結論．

解答：解：關于x的不等式

x+2

ax2+a2x-x-a

＞0 即 

x+2

(ax-1)(x+a)

＞0，即 

x+2

a(x- 1 a )(x+a)

＞0．
不等式中，各因式的根分別為-2、-a、

1

a

．
①當a＜-2時，有-a＞

1

a

＞-2，不等式即

x+2

(x+a)(x- 1 a )

＜0，
解得-a＞x＞

1

a

，或 x＜-2，故不等式的解集為 {x|-a＞x＞

1

a

，或 x＜-2}．
②當a=-2時，不等式即

x+2

(-2)•(x-2)(x+ 1 2 )

＞0，即 

x+2

(x+2)(x+ 1 2 )

＜0，
∴x≠-2，且x＜-

1

2

，故不等式的解集為 {x|x＜-

1

2

，且 x≠-2 }．
③當-2＜a＜-

1

2

 時，有-a＞

1

a

＞-2，不等式即

x+2

(x+a)(x- 1 a )

＜0，解得-a＞x＞

1

a

，或 x＜-2，
故不等式的解集為 {x|-a＞x＞

1

a

，或 x＜-2}．
④當a=-

1

2

時，不等式即

x+2

(- 1 2 )•(x- 1 2 )(x+2)

＞0，即

x+2

(x+2)(x+ 1 2 )

＜0，
∴x≠-2，且x＜-

1

2

，故不等式的解集為 {x|x＜-

1

2

，且 x≠-2}．
⑤當0＞a＞-

1

2

 時，有-a＞-2＞

1

a

，不等式即 

x+2

a•(x+a)(x- 1 a )

＞0，即

x+2

(x+a)(x- 1 a )

＜0，
解得-a＞x＞-2，或 x＜

1

a

，故不等式的解集為 {x|-a＞x＞-2，或 x＜

1

a

}．
⑥當a=0時，不等式即

x+2

-x

＞0，即

x+2

x

＜0，解得-2＜x＜0，故不等式的解集為{x|-2＜x＜0 }．
⑦當0＜a＜1時，不等式即 

x+2

a•(x+a)(x- 1 a )

＞0，即

x+2

(x+a)(x- 1 a )

＞0，解得x＞

1

a

，或-2＜x＜a，
故不等式的解集為 {x|x＞

1

a

，或-2＜x＜a }．
綜上可得，
當a＜-2 或-2＜a＜-

1

2

 時，解集為 {x|-a＞x＞

1

a

，或 x＜-2}；
當a=-2或a=-

1

2

時，解集為 {x|x＜-

1

2

，且 x≠-2 }；
當0＞a＞-

1

2

 時，解集為 {x|-a＞x＞-2，或 x＜

1

a

}；
當a=0時，解集為{x|-2＜x＜0 }；
當0＜a＜1時，解集為 {x|x＞

1

a

，或-2＜x＜a }．

點評：本題主要考查分式不等式的解法，體現了分類討論以及化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．