Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程是

x=2+tcosα y= 3 +sinα

（t是參數(shù)，0≤α＜π），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos（θ-

π

3

），直線l與曲線C相交于A、B兩點．
（I）求曲線C的直角坐標(biāo)方程，并指出它是什么曲線；
（II）若|AB|≥

13

，求α的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可把極坐標(biāo)方程化為普通方程；
（Ⅱ）方法一：利用圓心C到直線l的距離d、r、

1

2

|AB|三者之間的關(guān)系：d=

r2-( 1 2 |AB|)2

，及|AB|≥

13

，即可求出答案；
方法二：把直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程化為關(guān)于t的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式|AB|=|t₁-t₂|和|AB|≥

13

即可得出的答案．

解答：解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos（θ-

π

3

），可化為ρ=4×

1

2

cosθ+4×

3

2

sinθ，
∴ρ2=2ρcosθ+2

3

sinθ，
∴曲線C的普通方程為x2+y2=2x+2

3

y，
即(x-1)2+(y-

3

)2=4，
∴曲線C是圓心為C(1，

3

)，半徑r=2的圓．
（Ⅱ）方法一：∵r=2，弦|AB|≥

13

，
根據(jù)圓心C到直線l的距離d=

r2-( 1 2 |AB|)2

，
∴d≤

4- 13 4

=

3

2

．
當(dāng)α=

π

2

時，圓心C到直線l的距離是1＞

3

2

，不成立；
當(dāng)α≠

π

2

時，設(shè)k=tanα，則l：y-

3

=k(x-2)．
d=

|k- 3 + 3 -2k|

1+k2

=

|k|

1+k2

≤

3

2

，
解得-

3

≤k≤

3

，即-

3

≤tanα≤

3

．
∵0≤α＜π，∴α∈[0，

π

3

]∪[

2π

3

，π)，即為α的取值范圍．
方法二：把

x=2+tcosα y= 3 +tsinα

代入曲線C的方程x2+y2=2x+2

3

y，
化為t²+2tcosα-3=0，
∴t₁+t₂=-2cosα，t₁t₂=-3．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

2cos2α+14

，
∵|AB|≥

13

，
∴

2cos2α+14

≥

13

，
∴cos2α≥-

1

2

，
∵0≤α＜π，∴α∈[0，

π

3

]∪[

2π

3

，π)，即為α的取值α

點評：正確利用圓心C到直線l的距離d、r、

1

2

|AB|三者之間的關(guān)系：d=

r2-( 1 2 |AB|)2

，及直線l的參數(shù)方程中的t的意義是解題的關(guān)鍵．