Question

（2013•麗水一模）若雙曲線的右焦點F到一條漸近線的距離是點F到右頂點的距離與點F到中心的距離的等差中項，則離心率e=（　　）

• A．

  5

  4

• B．

  4

  3

• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：根據雙曲線的標準方程，算出右焦點F到一條漸近線的距離為b，結合題意得c-a、b、c成等差數列，由此可得2b=2c-a，平方后根據b²=c²-a²化簡整理，得5a=4c，由此即可算出該雙曲線的離心率．

解答：解：設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
可得雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0，
∴右焦點F到一條漸近線的距離為

|bc|

b2+a2

=b
因此c-a、b、c成等差數列，
∴2b=（c-a）+c，平方得4b²=（2c-a）²
∵b²=c²-a²，
∴4c²-4a²=4c²-4ac+a²，整理得5a=4c
因此，該雙曲線的離心率e=

c

a

=

5

4

故選：A

點評：本題給出雙曲線右焦點F到一條漸近線的距離是點F到右頂點的距離與點F到中心的距離的等差中項，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．