Question

設有兩個命題：p：不等式(

1

3

)x+4＞m＞2x-x2對x∈R恒成立，q：f（x）=-（7-2m）^x是R上的減函數；如果“p或q”為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：由不等式恒成立可得到m的范圍，由符合函數的真假及指數函數的單調性，可求m的另一個范圍，最后把復合命題“p或q”為假命題轉化為p假而且q假，從而取交集的答案．

解答：解：不等式(

1

3

)x+4＞m＞2x-x2對x∈R恒成立，
等價于[(

1

3

)x+4]min＞m＞(2x-x2)max，
而[(

1

3

)x+4]min＞4，（2x-x²）_max=1
可得當p真：1＜m≤4，則p假：m≤1或m＞4；
f（x）=-（7-2m）^x是R上的減函數，則（7-2m）＞1
可得當q真：m＜3，則q假：m≥3
“p或q”為假命題，表示p假而且q假
故實數m的取值范圍為m＞4

點評：本題考查復合命題的真假，涉及函數的最值問題及恒成立問題，屬基礎題．