Question

已知關于x的方程x³+ax²+bx+c=0的三個實根可作為一個橢圓、一條雙曲線和一條拋物線的離心率，則

b-1

a+1

的取值范圍為______．

Answer 1

依題意，關于x的方程 x³+ax²+bx+c=0有一個根是1
所以可設x³+ax²+bx+c=0=（x-1）（x²+mx+n）
根據多項式恒等的充要條件，得
m-1=a①
n-m=b②
n+c=0③
取①②兩式聯立得
m=a+1，n=a+b+1
構造函數 f（x）=x²+mx+n 即 f（x）=x²+（a+1）x+（a+b+1）
依題意f（x）=0的兩個根x₁，x₂分別作為橢圓和雙曲線的離心率
故 0＜x₁＜1＜x₂
根據一元二次方程根的分布，可得關于實系數a，b的約束條件：
判別式=（a+1）²-4（a+b+1）=（a-1）²-4b-4＞0
f（0）=a+b+1＞0，f（1）=2a+b+3＜0
令a為橫軸，b為縱軸，建立平面直角坐標系，作出這三個不等式所對應的平面區域S，
設P（a，b）是平面區域S內的任意一點，A（-1，1），k=

b-1

a+1

則k的幾何意義是直線PA的斜率．
作圖，得-2＜k＜0
故答案為（-2，0）