Question

（2011•寧波模擬）已知關于x的方程x³-ax²-2ax+a²-1=0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是

a＜

3

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．

Answer 1

分析：先把方程變形為關于a的一元二次方程的一般形式：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x²+x+1；于是有x=a+1或x²+x+1-a=0，再利用原方程只有一個實數根，確定方程x²+x+1-a=0沒有實數根或方程x²+x+1-a=0，有重根a+1，最后解a的不等式得到a的取值范圍．

解答：解：把方程變形為關于a的一元二次方程的一般形式：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，則△=（x²+2x）²-4（x³-1）=（x²+2）²，
∴a=

x 2+2x±(x 2+2)

2

，即a=x-1或a=x²+x+1．
所以有：x=a+1或x²+x+1-a=0．
∵關于x³-ax²-2ax+a²-1=0只有一個實數根，
∴情形1，方程x²+x+1-a=0沒有實數根，即△＜0，得a＜

3

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；
情形2，方程x²+x+1-a=0，有重根a+1，此時有a+1=-

1

2

，a=-

3

2

，方程為x²+x+

5

2

=0無解，不合題意，舍去，
所以a的取值范圍是a＜

3

4

．
故答案為：a＜

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4

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了轉化得思想方法在解方程中的應用．