Question

如圖，直線l⊥x軸，從原點(diǎn)開始向右平行移動(dòng)到x=8處停止，它掃過△AOB 所得圖形的面積為s，它與x軸的交點(diǎn)為（x，0）．
（1）求函數(shù)S=f（x）的解析式； 
（2）求函數(shù)S=f（x）的定義域、值域；
（3）在何處時(shí)，S=14．

Answer 1

分析：直線垂直于x軸在區(qū)間[0，4]上運(yùn)動(dòng)時(shí)，掃過的圖形是三角形，當(dāng)直線超過點(diǎn)（4，0）時(shí)，掃過的圖形面積等于大三角形面積減去右邊小三角形面積．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，S=

1

2

x2，當(dāng)4＜x≤8時(shí)，S=

1

2

×8×4-

1

2

×(8-x)2=-

1

2

x2+8x-16，
 所以f(x)=

1 2 x2                   (0≤x≤4) - 1 2 x2+8x-16  (4＜x≤8)

（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，8]，
當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f（x）=

1

2

x2為增函數(shù)，所以f（x）∈[0，8]，
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，f(x)=-

1

2

x2+8x-16在（4，8]上為怎函數(shù)，所以f（x）∈（8，16]．
所以函數(shù)的值域?yàn)閇0，16]．
（3）由（2）知，S=f（x）=14適合函數(shù)f(x)=-

1

2

x2+8x-16，由-

1

2

x2+8x-16=14，得x=6，或x=10（舍），
所以當(dāng)直線與x軸交與點(diǎn)（6，0）時(shí)，直線掃過的面積為14．

點(diǎn)評：本題考查了實(shí)際問題當(dāng)中的函數(shù)解析式的求解方法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，考查了分段函數(shù)定義域與值域的求法，分段函數(shù)的定義域與值域是各段的并集．