Question

已知數列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數列，且a₁=3，a₂=5，則

lim

n→∞

（

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

）=（　　）

• A、2
• B、

  3

  2

• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

分析：根據題意，數列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數列，設其公差為d，則log₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=d，由對數的運算性質可得，

an-1

an-1-1

=2^d，又由a₁=3，a₂=5，可得

an-1

an-1-1

=2，則可得{a_n-1}是以a₁-1=2為首項，公比為2的等比數列，進而可得a_n=2ⁿ+1，結合題意有a_n-a_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，代入可得答案．

解答：解：數列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數列，
設其公差為d，則log₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=d，
即

an-1

an-1-1

=2^d，又由a₁=3，a₂=5，
則d=1，即

an-1

an-1-1

=2，
{a_n-1}是以a₁-1=2為首項，公比為2的等比數列，
進而可得，a_n-1=2ⁿ，則a_n=2ⁿ+1，
故a_n-a_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
則

lim

n→∞

（

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

）=

lim

n→∞

（

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

）=1，
故選C．

點評：本題考查等差、等比數列的性質與極限的運算，注意與對數函數或指數函數的結合運用時，往往同時涉及等比、等差數列的性質，是一個難點．