Question

甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或下滿6局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為p（p＞

1

2

），且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為

5

9

．
（1）求p的值；
（2）設ξ表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）已知各局勝負相互獨立，第二局比賽結束時比賽停止，包含甲連勝2局或乙連勝2局，寫出甲連勝兩局的概率和乙連勝兩局的概率求和為

5

9

．解出關于P的方程．
（2）因為比賽進行到有一人比對方多2分或下滿6局時停止，所以ξ的所有可能取值為2，4，6，而ξ=2已經做出概率，只要求出ξ=4或ξ=6時的概率即可，最后求出期望．

解答：解：（1）當甲連勝2局或乙連勝2局時，
第二局比賽結束時比賽停止，故p2+(1-p)2=

5

9

，
解得p=

2

3

或p=

1

3

，又p＞

1

2

，故p=

2

3

（2）依題意知ξ的所有可能取值為2，4，6，
設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為

5

9

，
若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，
此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有P(ξ=2)=

5

9

，P(ξ=4)=(1-

5

9

)×

5

9

=

20

81

，P(ξ=6)=(1-

5

9

)×(1-

5

9

)×1=

16

81

，
則隨機變量ξ的分布列為：

故Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

點評：求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．