Question

將正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各面涂色，任何相鄰兩個面不同色，現在有5個不同的顏色，并且涂好了過頂點A的3個面的顏色，那么其余3個面的涂色方案共有（ ）
A．15種
B．14種
C．13種
D．12種

Answer 1

【答案】分析：本題是一個分類計數問題，設6個面為1對4、2對5、3對6，五種顏色為a、b、c、d、e，且1涂a，2涂b，3涂c，包括5種顏色全都使用和只使用4種顏色時和只使用3種顏色時，做出結果數，根據分類計數原理得到．
解答：解：由題意知本題是一個分類計數問題，
設6個面為1對4、2對5、3對6，五種顏色為a、b、c、d、e，且1涂a，2涂b，3涂c
當5種顏色全都使用時
即只有一組對面顏色相同，設1和4同色，5和6有2種涂法（de或ed）
因為三個面各不相同
所以一共有3×2=6種
當只使用4種顏色時
即有兩組對面顏色相同，設1和4同色，2和5同色，6有2種涂法（d或e）共有3×2=6種
當只使用3種顏色時 只能是1和4同色，2和5同色，3和6同色，即只有1種
綜上共有6+6+1=13種方法
故選C．
點評：本題考查分類計數原理，本題解題的關鍵是對顏色使用的不同情況進行選擇，用5種，4種，3種，把三種情況相加即可．