Question

已知函數f(x)=a-

2

2x+1

．
（1）求f（0）；
（2）探究f（x）的單調性，并證明你的結論；
（3）若f（x）為奇函數，求滿足f（ax）＜f（2）的x的范圍．

Answer 1

分析：（1）直接代入即可獲得解答；
（2）根據函數單調性的定義，首先應在所給區間上任設兩個數并規定大小，然后通過作差法分析獲得兩數對應函數值之間的大小關系即可；
（3）充分利用好函數的奇偶性，即可求的a的值，從而將問題簡化為滿足f（x）＜f（2）求x的取值范圍，結合函數的單調性即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）f（0）=a-

2

20+1

=a-1．
（2）∵f（x）的定義域為R∴任取x₁x₂∈R且x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2•(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

．
∵y=2^x在R是單調遞增且x₁＜x₂
∴0＜2x1＜2x2
∴2x1-2x2＜0
2x1+1＞0
2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上單調遞增．
（3）∵f（x）是奇函數∴f（-x）=-f（x），
即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，
解得：a=1．
∴f（ax）＜f（2）
即為f（x）＜f（2）
又∵f（x）在R上單調遞增
∴x＜2．

點評：本題考查的是函數單調性、奇偶性等知識的綜合問題．在解答的過程當中充分體現了計算的能力、單調性定義的應用以及問題轉化的能力．值得同學們體會和反思．