Question

已知適合不等式|x²-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值為3，求實數a的值，并解該不等式．

Answer 1

【答案】分析：首先分析題目已知適合不等式|x²-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值為3，即可得到|x-3|=3-x．然后可以分類討論x²-4x+a＜0，x²-4x+a≥0的情況，去絕對值號，求得解集即可得到答案．
解答：解：已知適合不等式|x²-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值為3，即x≤3，所以|x-3|=3-x．
（1）若x²-4x+a＜0，則原不等式化為x²-3x+a+2≥0．
此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，所以x²-4x+a＜0不成立．
（2）若x²-4x+a≥0，則原不等式化為x²-5x+a-2≤0．因為x≤3，
令x²-5x+a-2=（x-3）（x-m）=x²-（m+3）x+3m，比較系數，得m=2，所以a=8．
此時，原不等式的解集為{x|2≤x≤3}
故答案為a=8，不等式解集為{x|2≤x≤3}．
點評：此題主要考查絕對值不等式的應用問題，考查學生靈活求解能力，題中用到分類討論思想，有一定的計算量屬于中檔題目．