Question

【題目】設(shè)是正整數(shù).在一個(gè)十進(jìn)制位數(shù)的各位數(shù)字中，若含有數(shù)字8，則在每個(gè)數(shù)字8的前一位數(shù)字就不能是數(shù)字3（即不能出現(xiàn)38字樣）.試求出所有這樣的位數(shù)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】

【解析】

考慮滿足條件的位數(shù)的個(gè)數(shù)，分以下兩種情形.

（1）當(dāng)個(gè)位數(shù)字不是8時(shí)，前位數(shù)有種取法，個(gè)位數(shù)字有9種取法，從而，該位數(shù)有種取法.

（2）當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，可分成如下三類：

8 8 … 8 8（各位數(shù)字全是8），

個(gè)

… 非3亦非8 8 8 … 8 8

第位

位 個(gè)

非3亦非8 8 8 … 8 8.

第位 個(gè)

由此可知，個(gè)位數(shù)字為8的位允許的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是

由（1）和（2）得

. ①

由式①得

. ②

由②-①得

，

即. ③

易知.

由式③知，

其中，為待定常數(shù)，則

解得.

故.

這就是符合題意的位正整數(shù)的個(gè)數(shù).