Question

在△ABC中，若角A，B，C成公差大于零的等差數列，則cos²A+cos²C的最大值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．2
• D．不存在

Answer 1

分析：由題意可得，B=

π

3

，A＜

π

3

＜C，且A+C=

2π

3

．再利用三角恒等變換化簡 cos²A+cos²C 為1+2cos（2A+

π

3

）．再由

π

3

＜2A+

π

3

＜π，函數y=1+2cos（2A+

π

6

）
在（

π

3

，π）上是減函數，可得 1+2cos（2A+

π

6

） 無最大值．

解答：解：在△ABC中，若角A，B，C成公差大于零的等差數列，則B=

π

3

，A＜

π

3

＜C，且A+C=

2π

3

．
再由 cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

cos2A+

1

2

cos（

4π

3

-2A）=1+

1

2

cos2A+

1

2

（cos

4π

3

cos2A+sin

4π

3

sin2A）
=1+

1

4

cos2A-

3

4

sin2A=1+2cos（2A+

π

3

）．
再由A＜

π

3

＜C，可得

π

3

＜2A+

π

3

＜π，由于函數y=1+2cos（2A+

π

6

）在（

π

3

，π）上是減函數，故 1+2cos（2A+

π

6

） 無最大值，
故選D．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換、余弦函數的單調性、定義域和值域，屬于中檔題．