Question

在(2x+

1

x2

)n的展開式中，第三項的二項式系數比第二項的二項式系數大27，求展開式中的常數項及所有項系數的和．

Answer 1

分析：由題意可得，

C

2 n

-

C

1 n

=27，解方程求出n；利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數為0求出展開式的常數項．再令x=1可求各項系數的和

解答：解：由題意可得，

C

2 n

-

C

1 n

=27
整理可得，n²-3n-54=0
解可得，n=9
(2x+

1

x2

)9展開式的通項Tr+1=

29-rC

r 9

x9-3r
令9-3r=0可得r=3，則常數項為T4=

26C

3 9

=5376
令x=1可得各項系數的和為3⁹

點評：本題考查二項式系數的性質、考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．