Question

已知f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函數，g(x)=x-a

x

在（0，1）上是減函數．
（1）求a的值；
（2）設函數φ(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函數，且對于（0，1]內的任意兩個變量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求實數b的取值范圍；
（3）設h(x)=f′(x)-g(x)-2

x

+

3

x

，求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

Answer 1

分析：（1）依題意，當x∈（1，2]時，f'（x）≥0恒成立，即a≤（2x²）_min可得a≤2，當x∈（0，1）時，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，從而可求a
（2）由導數可得f（x）在（0，1]上是減函數，最小值是f（1）=1.φ(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函數可得φ′(x)=2b+

2

x3

≥0恒成立，得b≥-1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b-1，則1≥2b-1可求b的范圍
（3）由已知可得h（x）=x+

1

x

n=1時不等式左右相等，得證；n≥2時，利用二項展開式進行放縮可證

解答：解：（1）f′(x)=2x-

a

x

，依題意，當x∈（1，2]時，f'（x）≥0恒成立，即a≤（2x²）_min⇒a≤2.g′(x)=1-

a

2 x

，當x∈（0，1）時，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，所以a=2．…（5分）
（2）f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，所以f（x）在（0，1]上是減函數，最小值是f（1）=1.φ(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函數，即φ′(x)=2b+

2

x3

≥0恒成立，得b≥-1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b-1，
由已知得1≥2b-1⇒b≤1，所以b的取值范圍是[-1，1]．…（5分）
（3）h(x)=f′(x)-g(x)-2

x

+

3

x

=…=x+

1

x

，
n=1時不等式左右相等，得證；
n≥2時，[h(x)]n-h(xn)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)=

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4+…+

C

n-1 n

x2-n=

1

2

[

C

1 n

(xn-2+x2-n)+

C

2 n

(xn-4+x4-n)+…+

C

n-1 n

(x2-n+xn-2)]≥

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

=2n-2，
所以[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）成立．…（5分）

點評：本題主要考查了由函數的導數判斷函數的單調性，函數的恒成立與函數的最值的相互轉化，利用二項展開式的進行證明不等式，屬于知識的綜合考查