Question

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上的兩點，滿足

x1x2

b2

+

y1y2

a2

=0，橢圓的離心率e=

3

2

，短軸長為2，O為坐標原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點F（0，C）（C為半焦距），求直線AB的斜率k的值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率e=

3

2

，短軸長為2，求出幾何量，可得橢圓的方程；
（2）設出直線AB方程為y=kx+

3

，代入橢圓方程整理，利用韋達定理及

x1x2

b2

+

y1y2

a2

=0，即可求得直線AB的斜率k的值．

解答：解：（1）∵橢圓的離心率e=

3

2

，短軸長為2，
∴b=1，

c

a

=

3

2

，
∴a=2，c=

3

，
∴橢圓的方程為

y2

4

+x2=1；…（5分）
（2）焦點F（0，

3

），直線AB方程為y=kx+

3

，代入橢圓方程整理得，（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，
∴△＞0且x₁+x₂=-

2 3 k

k2+4

，x1x2=-

1

k2+4

，…（7分）
y₁y₂=（kx₁+

3

)(kx2+

3

)=k²x₁x₂+

3

k(x1+x2)+3=k²（-

1

k2+4

)+

3

k(-

2 3 k

k2+4

)+3=

4(3-k2)

k2+4

，…（9分）
∵

x1x2

b2

+

y1y2

a2

=0，
∴-

1

k2+4

+

3-k2

k2+4

=0，
解得k=±

2

，…（10分）
∴直線AB的斜率k為±

2

；                  （12分）

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．