Question

已知橢圓C：的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，△AF₁F₂為正三角形，且以線段F₁F₂為直徑的圓與直線相切.
（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率e；
（Ⅱ）若點P為焦點F₁關于直線的對稱點，動點M滿足. 問是否存在一個定點T，使得動點M到定點T的距離為定值？若存在，求出定點T的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在一個定點且定值為.

試題分析：（Ⅰ）依題意由線段F₁F₂為直徑的圓與直線相切，根據點到直線的距離公式得，可得c值，再由△AF₁F₂為正三角形，得a、b、c間關系，求出a、b的值，即得橢圓方程及離心率；（Ⅱ）假設存在一個定點T符合題意，先求出點關于直線的對稱點，由題意得，可知動點M的軌跡，從而得解.
試題解析：解：（Ⅰ）設焦點為，
以線段為直徑的圓與直線相切，，即c=2，    1分
又為正三角形，，  4分
橢圓C的方程為，離心率為.        6分
（Ⅱ）假設存在一個定點T符合題意，設動點，由點得
點關于直線的對稱點，                     7分
由得，
兩邊平方整理得，                      10分
即動點M的軌跡是以點為圓心，長為半徑的圓，
存在一個定點且定值為.                         12分