Question

【題目】已知二次函數y=f（x）的圖象過坐標原點，其導函數f′（x）=6x﹣2，數列{an}前n項和為Sn ， 點（n，Sn）（n∈N*）均在y=f（x）的圖象上．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設 ，Tn是數列{bn}的前n項和，求當 對所有n∈N*都成立m取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，f（x）=3x2﹣2x，

∵點（n，Sn）（n∈N*）均在y=f（x）的圖象上，

∴Sn=f（n）=3n2﹣2n，

當n≥2時，Sn﹣1=3（n﹣1）2﹣2（n﹣1），

兩式相減得：an=6n﹣5（n≥2），

又∵a1=S1=3﹣2=1滿足上式，

∴數列{an}的通項公式an=6n﹣5

（2）解：由（1）可知 = = （ ﹣ ），

∴數列{bn}的前n項和Tn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （1﹣ ）= ，

∵Tn= （1﹣ ）隨著n的增大而增大，

∴Tn≥T1= = ，

又∵ 對所有n∈N*都成立，

∴ ≥ ，解得：m≤

【解析】（1）通過圖象特征及導函數可知f（x）=3x2﹣2x，并代入點（n，Sn）（n∈N*）整理可知Sn=3n2﹣2n，進而與Sn﹣1=3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）（n≥2）作差，計算即得結論；（2）通過（1）裂項可知bn= （ ﹣ ），進而并項相加可知Tn= ，通過Tn= （1﹣ ）隨著n的增大而增大可知 ≥ ，進而計算可得結論．
【考點精析】利用二次函數的性質和基本求導法則對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導．