Question

已知命題：若p：|x-1|＞a成立 則q：2x²-3x+1＞0成立．若原命題為真命題，且其逆命題為假命題．求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：解P中的不等式組，我們可得使命題p為真的集合P，解q中的不等式我們可得使命題q為真的集合Q，若要利用所給的兩個條件作為A，B構造命題：“若A，則B”，并使得構造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題，P?Q即可，根據集合包含的充要條件，構造關于a的不等式，可得答案．

解答：解：由 p：|x-1|＞a   
∴x-1＜-a或x-1＞a，
∴x＜-a+1或x＞a+1，
∴P=（-∞，-a+1）∪（a+1，+∞）
已知條件q，即2x²-3x+1＞0，
∴x＜

1

2

或x＞1
Q=（-∞，

1

2

）∪（1，+∞）
由原命題為真命題，且其逆命題為假命題
∴P?Q
即

1-a≤ 1 2 1+a≥1

解得a≥

1

2

綜上所述，所求實數a的取值范圍是[

1

2

，+∞）

點評：本題考查的知識點是四種命題的真假判斷，及充要條件的性質，若要利用所給的兩個條件作為A，B構造命題：“若A，則B”，并使得構造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題，則A為B的充分不必要的條件，可得A?B