Question

某商店經(jīng)營的消費品進價每件14元，月銷售量Q（百件）與銷售價格p（元）的關(guān)系如下圖，每月各種開支2000元．
（1）寫出月銷售量Q（百件）與銷售價格p（元）的函數(shù)關(guān)系；
（2）寫出月利潤y（元）與銷售價格p（元）的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)商品價格每件為多少元時，月利潤最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得直線的斜率，由直線方程的點斜式方程可得解析式；
（2）利潤=收入-成本，結(jié)合（1）可得答案；
（3）由（2）的分段函數(shù)，分別由二次函數(shù)的最值求解各段的最大值，比較出較大的即可．

解答：解：（1）當(dāng)14≤P≤20時，直線過點（20，10），（14，22），
故可得斜率為k=

22-10

14-20

=-2，故所在直線的方程為Q-10=-2（p-20），
化簡可得Q=-2p+50，同理可得，當(dāng)20＜P≤26時，Q=-

3

2

p+40，
故可得Q=

-2P+50(14≤P≤20) - 3 2 P+40(20＜P≤26)

…（2分）
（2）結(jié)合（1）可知：當(dāng)14≤P≤20時，y=100（P-14）（-2P+50）-2000
即y=-200（p²-39p+360）
當(dāng)20＜P≤26時，y=100（p-14）（ -

3

2

p+40）-2000
即y=-50（3p²-122p+1160）…（4分）
所以y=

-200(P2-39P+360)     (14≤P≤20) -50(3P2-122P+1160)      (20＜P≤26)

…（5分）
（3）由（2）的解析式結(jié)合二次函數(shù)的知識可知：
當(dāng)14≤P≤20時，當(dāng)p=-

-39

2×1

=19.5時，函數(shù)取最大值4050，
當(dāng)20＜P≤26時，當(dāng)-

-122

2×3

=

61

3

時，函數(shù)取最大值

12050

3

＜4050
綜上可得：當(dāng)商品價格為19.5元時，利潤最大，為4050元…（8分）

點評：本題考查分段函數(shù)的解析式，涉及圖象的作法，屬基礎(chǔ)題．