Question

某商店經營的消費品進價每件14元，月銷售量Q（百件）與銷售價格P（元）的關系如圖，每月各種開支2000元，
（1）寫出月銷售量Q（百件）與銷售價格P（元）的函數關系．
（2）該店為了保證職工最低生活費開支3600元，問：商品價格應控制在什么范圍？
（3）當商品價格每件為多少元時，月利潤并扣除職工最低生活費的余額最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象為分段函的圖象，所以應求14≤P≤20，與20＜x≤28兩部分的解析式，由圖象上的點分別代入Q=aP+b，求出即可；
（2）如果使該店剛好能夠維持職工生活，那么該店經營的利潤只能保證企業的全體職工每個月最低的生活費的開支3600元以及每月所需的各種開支2000元，據此列出不等關系，從而確定商品的價格；
（3）設月利潤和除職工最低生活費的余額為L，列出L與售價P的函數關系式，根據函數性質求出L取最大值時，自變量P的值，從而確定商品的價格．

解答：解：（1）由題設知，當14≤x≤20時，設Q=ax+b，
則

14a+b=22 20a+b=10

，∴

a=-2 b=50

∴Q=-2x+50，
同理得，當20＜x≤28時，Q=-

3

2

x+40，…（4分）
所以Q=

-2P+50(14≤P≤20) - 3 2 P+40(20≤P≤26)

；
（2）由（1）得：
Q=

-2P+50(14≤P≤20) -1.5P+40(20＜P≤26)

，
當14≤P≤20時，（P-14）（-2P+50）×100-3600-2000≥0，
即P²-39P+378≤0，解得18≤P≤21，故18≤P≤20；
當20≤P≤26時，(P-14)(-

3

2

P+40)×100-3600-2000≥0，
即3P²-122P+1232≤0，解得

56

3

≤P≤22，故20≤P≤22．
所以18≤P≤22．
故商品價格應控制在[18，22]范圍內；
（3）設月利潤和除職工最低生活費的余額為L，則L=100（P-14）Q-2000．分兩種情況：
第一種：當14≤P≤20時，即L=100（P-14）（-2P+50）-2000=-200P²+7800P-72000，則當P=

-7800

2×(-200)

=19.5時，L有最大值，
此時L=

4×(-200)×(-7200)-7800×7800

4×(-200)

-3600=4050-3600=450；
第二種：當20≤P≤28時，即100（P-14）（-1.5P+40）-2000=-150P²+6100P-58000，
則當P=

-6100

2×(-150)

=

61

3

時，L有最大值，此時L=

4×(-150)×(-58000)-6100×6100

4×(-150)

-3600=4016

2

3

-3600=416

2

3

．
因為450＞416

2

3

，所以當P=19.5元時，月利潤最大，為450元．

點評：本題是一道綜合題，難度較大．重點考查了一次函數圖象和實際應用相結合的問題，能夠從圖象上準確地獲取信息，本題中Q與P的關系是分段的，要注意對應，這是做本題的關鍵．