Question

若等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足為常數，則稱該數列為S數列．
（1）判斷a_n=4n-2是否為S數列？并說明理由；
（2）若首項為a₁的等差數列{a_n}（a_n不為常數）為S數列，試求出其通項；
（3）若首項為a₁的各項為正數的等差數列{a_n}為S數列，設n+h=2008（n、h為正整數），求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等差數列的通項公式找出等差數列的首項和公差，然后利用等差數列的前n項和的公式表示出S_n和S_2n，求出 等于 為常數，所以得到該數列為S數列；
（2）設此數列的公差為d，根據首項和公差，利用等差數列的前n項和的公式表示出S_n和S_2n，因為此數列為S數列，得到 等于常數，設比值等于k，去分母化簡后得到關于n的一個多項式等于0，令其系數和常數項等于0即可求出k和d值，根據首項和公差d寫出該數列的通項公式即可．
（3）根據已知條件首項為a₁的各項為正數的等差數列{a_n}為S數列，設n+h=2008，利用基本不等式求出的最小值．
解答：解：（1）由a_n=4n-2，得，所以它為S數列；                       （4分）
（2）假設存在等差數列{a_n}，公差為d，
則（常數）（6分）
∴2a₁n+n²d-nd=4a₁kn+4n²dk-2nkd化簡得d（4k-1）n+（2k-1）（2a₁-d）=0①
由于①對任意正整數n均成立，
則解得：（8分）
故存在符合條件的等差數列，
其通項公式為：a_n=（2n-1）a₁，其中a₁≠0（10分）
（3）∵（12分）
∴．（14分）
其最小值為，當且僅當n=h=1004取等號                   （16分）
點評：此題考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，掌握題中的新定義并會利用新定義化簡求值，是一道綜合題．