Question

【題目】△ABC的三邊長是三個連續的自然數，且最大角是最小角的2倍，則此三角形的面積為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據三角形滿足的兩個條件，設出三邊長分別為n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出關系式，根據二倍角的正弦函數公式化簡后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n-1）ncosα，將表示出的cosα代入，整理后得到關于n的方程，求出方程的解得到n的值，從而得到三邊長的值，最后求三角形的面積．

解：設三角形三邊是連續的三個自然n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，

由正弦定理可得：，

∴cosα=，

再由余弦定理可得：（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n+1）ncosα=（n+1）2+n2-2（n+1）n，

化簡可得：n2-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），

∴n=5，故三角形的三邊長分別為：4，5，6.

所以cosα=，

所以S=.

故答案為：