Question

已知數列{a_n}是首項a₁=1，公差大于0的等差數列，其前n項和為S_n，數列{b_n}是首項b₁=2的等比數列，且b₂S₂=16，b₃S₃=72．
（1）求a_n和b_n；
（2）令c₁=1，c_2k=a_2k-1，c_2k+1=a_2k+kb_k（k=1，2，3，…），求數列{c_n}的前2n+1項和T_2n+1．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）直接利用等差數列和等比數列建立方程組求出數列的通項公式．
（2）根據構造的新數列的特點，利用乘公比錯位相減法和等差數列的前n項和公式求出結果．

解答： 解：（1）設數列{a_n}的公差為d（d＞0）數列{b_n}的公比為q，
則a_n=1+（n-1）d，bn=2qn-1．
依題意得b₂S₂=2q（2+d）=16，b3S3=2q2(3+3d)=72
由此得

q(2+d)=8 q2(1+d)=12

∵d＞0，解得

d=2 q=2

．
∴a_n=2n-1，bn=2n．
（2）∵T_2n+1=c₁+a₁+（a₂+b₁）+a₃+（a₄+2•b₂）+…+a_2n-1+（a_2n+nb_n）
=1+S_2n+（b₁+2b₂+…+nb_n）
令A=b₁+2b₂+…+nb_n
則A=2+2•2²+…+n•2ⁿ2A
=2²+2•2³+…+（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹-A
=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴A=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2
又S2n=

2n(1+a2n)

2

=4n2，
∴T2n+1=1+4n2+n•2n+1-2n+1+2
=3+4n²+（n-1）2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查的知識要點：數列通項公式的求法，乘公比錯位相減法的應用，數列前n項和的應用．屬于中等題型．