Question

如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．，求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據中位線定理得到OE∥AP，進而再由線面平行的判定定理可得到PA∥平面BDE．
（2）先根據線面垂直的性質定理得到PO⊥BD，結合AC⊥BD根據線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，從而根據面面垂直的判定定理得到平面PAC⊥平面BDE，得證．
解答：證明（1）∵O是AC的中點，E是PC的中點，
∴OE∥AP，
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE

（2）∵PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC，
而BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．
點評：本題主要考查中位線定理、線面平行的判定定理和面面垂直的判定定理．考查立體幾何的基本定理和空間想象能力．