Question

已知函數，（）在處取得最小值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若在處的切線方程為，求證：當時，曲線不可能在直線的下方；

（Ⅲ）若，（）且，試比較與的大小，并證明你的結論.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）導數法，先求導數，由條件，得出的值，再令或，判斷函數的單調區間；（Ⅱ）導數法，構造新函數，再用導數法，證明在恒成立，從而得出結論；（Ⅲ）用導數的幾何意義，得出直線方程，在用導數法證明.

試題解析：（Ⅰ），由已知得,           （3分）

當時，此時在單調遞減，在單調遞增,

（Ⅱ）,,在的切線方程為，

即.                                                   （6分）

當時，曲線不可能在直線的下方在恒成立，

令，,

當，，

即在恒成立，

所以當時，曲線不可能在直線的下方,                   （9分）

（Ⅲ）,

先求在處的切線方程，故在的切線方程為，即，

下先證明，

令

，

當，

.                                                 （14分）

考點：導數的運算法則，利用導數研究函數的極值，不等式的證明等知識.