Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，直線： 交橢圓于， 兩不同的點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線不過點(diǎn)，求證：直線， 與軸圍成等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明詳見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）求橢圓方程采用待定系數(shù)法，首先設(shè)出橢圓方程，由離心率和點(diǎn)的坐標(biāo)可分別得到關(guān)于的關(guān)系式，結(jié)合可求得值，從而得到橢圓方程；（Ⅱ）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，借助于二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得到坐標(biāo)與的關(guān)系式，證明三角形為等腰三角形轉(zhuǎn)化為證明直線的斜率互為相反數(shù)，通過計算兩斜率之和為0，來實(shí)現(xiàn)結(jié)論的證明.

（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，因?yàn)?/span>，所以，

又橢圓過點(diǎn)，所以，解得， ，故橢圓的方程為

（Ⅱ）將代入并整理得，

再根據(jù)，求得.

設(shè)直線， 斜率分別為和，只要證即可.

設(shè)， ，則， ，

∴

而此分式的分子等于

可得

因此， 與軸所圍成的三角形為等腰三角形.