Question

已知k＞0，直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx．
（1）證明：到l₁、l₂的距離的平方和為定值a（a＞0）的點的軌跡是圓或橢圓；
（2）求到l₁、l₂的距離之和為定值c（c＞0）的點的軌跡．

Answer 1

【答案】分析：（1）設動點P（x，y），依據到l₁、l₂的距離的平方和為定值a得關于x，y的方程，化簡即得軌跡方程，再對參數k 進行討論即可；
（2）設動點P（x，y），依據到l₁、l₂的距離之和為定值c得關于x，y的方程，化簡即得軌跡方程，最后依據方程討論其軌跡．
解答：（1）證明：設點P（x，y）為動點，則+=a，
整理得+=1．
因此，當k=1時，動點的軌跡為圓；
當k≠1時，動點的軌跡為橢圓．
（2）解：設點P（x，y）為動點，則
|y-kx|+|y+kx|=c．
當y≥k|x|時，y-kx+y+kx=c，即y=c；
當y≤-k|x|時，kx-y-y-kx=c，即y=-c；
當-k|x|＜y＜k|x|，x＞0時，kx-y+y+kx=c，即x=c；
當-k|x|＜y＜k|x|，x＜0時，y-kx-y-kx=c，即x=-c．
綜上，動點的軌跡為矩形．
點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．