Question

已知k＞0，直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx．
（1）證明：到l₁、l₂的距離的平方和為定值a（a＞0）的點的軌跡是圓或橢圓；
（2）求到l₁、l₂的距離之和為定值c（c＞0）的點的軌跡．

Answer 1

分析：（1）設動點P（x，y），依據到l₁、l₂的距離的平方和為定值a得關于x，y的方程，化簡即得軌跡方程，再對參數k 進行討論即可；
（2）設動點P（x，y），依據到l₁、l₂的距離之和為定值c得關于x，y的方程，化簡即得軌跡方程，最后依據方程討論其軌跡．

解答：（1）證明：設點P（x，y）為動點，則

|y-kx|2

1+k2

+

|y+kx|2

1+k2

=a，
整理得

x2

(1+k2)a 2k2

+

y2

(1+k2)a 2

=1．
因此，當k=1時，動點的軌跡為圓；
當k≠1時，動點的軌跡為橢圓．
（2）解：設點P（x，y）為動點，則
|y-kx|+|y+kx|=c

1+k2

．
當y≥k|x|時，y-kx+y+kx=c

1+k2

，即y=

1

2

c

1+k2

；
當y≤-k|x|時，kx-y-y-kx=c

1+k2

，即y=-

1

2

c

1+k2

；
當-k|x|＜y＜k|x|，x＞0時，kx-y+y+kx=c

1+k2

，即x=

1

2k

c

1+k2

；
當-k|x|＜y＜k|x|，x＜0時，y-kx-y-kx=c

1+k2

，即x=-

1

2k

c

1+k2

．
綜上，動點的軌跡為矩形．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．