Question

數列{a_n}中，已知 a₁=1，a_n+1=a_n+

n+1

2n

，求a_n．

Answer 1

分析：將已知化為an+1-an=

n+1

2n

，再用疊加法求通項．

解答：解：由已知可得：an+1-an=

n+1

2n

即   a2-a1=

2

21

  
  a3-a2=

3

22

…
an-an-1=

n

2n-1

  （n≥2）
　疊加后可得：a_n-a₁=

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

設　S=

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

　�。�1）
則　　2S=

2

20

+

3

21

+

4

22

+…+

n

2n-2

�。�2）
（2）-（1）得：S=2+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-2

-

n

2n-1

=2+

1 2 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

-

n

2n-1

=3-

n+2

2n-1

則　a_n=4-

n+2

2n-1

　（n≥2）對n=1時也符合．
故an=4-

n+2

2n-1

（n≥1）

點評：本題考查疊加法求通項．凡是形如a _n+1-a _n=f（n），且{f（n）}能求和，均可用疊加法求通項．